伯努利不等式

伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當${\displaystyle n=0,1}$，不等式明顯成立。假設不等式對正整數${\displaystyle n}$，實數${\displaystyle x\geq -1}$時成立，那麼

${\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)}$

${\displaystyle =1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x}$。

下面是推廣到實數冪的版本：如果${\displaystyle x>-1}$，那麼：

若${\displaystyle r\leq 0}$或${\displaystyle r\geq 1}$，有${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$；

若${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$，有${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$。

這不等式可以用導數比較來證明：

當${\displaystyle r=0,1}$時，等式顯然成立。

在${\displaystyle (-1,\infty )}$上定義${\displaystyle f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)}$，其中${\displaystyle r\neq 0,1}$， 對${\displaystyle x}$求导得${\displaystyle f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r}$， 則${\displaystyle f'(x)=0}$當且僅當${\displaystyle x=0}$。分情況討論：

1. ${\displaystyle 0<r<1}$，則對${\displaystyle x>0}$，${\displaystyle f'(x)<0}$；對${\displaystyle -1<x<0}$，${\displaystyle f'(x)>0}$。因此${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x=0}$時取最大值${\displaystyle 0}$，故得${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$。
2. ${\displaystyle r<0}$或${\displaystyle r>1}$，則對${\displaystyle x>0}$，${\displaystyle f'(x)>0}$；對${\displaystyle -1<x<0}$，${\displaystyle f'(x)<0}$。因此${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x=0}$時取最小值${\displaystyle 0}$，故得${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$。

在這兩種情況，等號成立當且僅當${\displaystyle x=0}$。

下述不等式從另一邊估計${\displaystyle (1+x)^{r}}$：對任意${\displaystyle x,{\mbox{ }}r>0}$，都有

${\displaystyle (1+x)^{r}<e^{rx}\,}$。

我们知道${\displaystyle 1+x<e^{x}}$（${\displaystyle x>0}$），因此这个不等式是平凡的。