內自同構

若g在G的中心Z(G)內，則${\displaystyle \iota _{g}}$是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言，${\displaystyle \iota _{g}}$的不動點集，正是g的中心化子C_G(g)。

內自同構${\displaystyle \iota _{g}}$的逆元是${\displaystyle \iota _{g}^{-1}=\iota _{g^{-1}}}$。兩個內自同構${\displaystyle \iota _{g},\iota _{h}}$的複合是${\displaystyle \iota _{g}\circ \iota _{h}=\iota _{gh}}$

由群的中心的基本性質可知，若Inn(G)是循環群，則Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G無中心，則G稱為完備群。

若G是完滿群且Inn(G)是單群，則G稱為擬單群。

群G的內自同構組成內自同構群Inn(G)。內自同構群Inn(G)與群G對其中心Z(G)的商群G/Z(G)同構。

內自同構群Inn(G)是G的自同構群Aut(G)中的正規子群，其對應商群記為Out(G)=Aut(G)/Inn(G)，稱為外自同構群。

上述關係可以用以下兩個短正合列表示：

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} (G)\to G\to \mathrm {Inn} (G)\to 1}$

${\displaystyle 1\to \mathrm {Inn} (G)\to \mathrm {Aut} (G)\to \mathrm {Out} (G)\to 1}$

群G的子群H是G的正規子群，當H在G的任一內自同構的作用下不變。這時G的內自同構限制到H上是H的自同構（未必是H的內自同構），因而有群同態${\displaystyle G\to \mathrm {Aut} (H)}$。這個群同態的核是H在G中的中心化子C_G(H)。

對一般的子群H，可取其在G中的正規化子N_G(H)，則H是N_G(H)的正規子群，故有群同態${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(H)\to \mathrm {Aut} (H)}$，其核是C_G(H)。因此N_G(H)/C_G(H)可以嵌入到Aut(H)內，即

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(H)/\mathrm {C} _{G}(H)\to \mathrm {Aut} (H)}$

是單射。

• Rotman, Joseph J., , Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7).