函數域

若 ${\displaystyle X}$ 是仿射整概形，${\displaystyle U\subset X}$ 為開集，則定義 ${\displaystyle K_{X}(U)}$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ 的分式域。此時 ${\displaystyle K_{X}}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)}$ 的分式域的常數層。

若 ${\displaystyle X}$ 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 ${\displaystyle U\subset X}$，可以一致地定義 ${\displaystyle K_{X}(U):=K_{V}(U\cap V)}$，其中 ${\displaystyle V}$ 是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為 ${\displaystyle X}$ 的函數域。另一種等價定義是 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 在一般點的莖。

設 ${\displaystyle k}$ 為域，${\displaystyle X}$ 為不可約 ${\displaystyle k}$-代數簇，則 ${\displaystyle K_{X}}$ 是 ${\displaystyle k}$ 的域擴張，有時也寫作 ${\displaystyle k(X)}$。此擴張的超越次數等於 ${\displaystyle \dim X}$，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的函數域是 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$。

以下設 ${\displaystyle k}$ 為域。

• 單點 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$ 的函數域是 ${\displaystyle k}$ 本身。
• 仿射直線 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$ 與射影直線 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ 的函數域都是 ${\displaystyle k(t)}$，其中 ${\displaystyle t}$ 是 ${\displaystyle k}$ 上的超越元。
• 考慮平面曲線 ${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$，其函數域是 ${\displaystyle k(x,y)}$，其中 ${\displaystyle x,y}$ 是 ${\displaystyle k}$ 上滿足 ${\displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$ 的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 ${\displaystyle k}$ 為有限域時，${\displaystyle k}$-代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。