卢津定理

首先，對每個正整數i，構造緊緻集${\displaystyle K_{i}}$和在其上的連續函數${\displaystyle g_{i}}$，使得

${\displaystyle \mu (X\setminus K_{i})<\epsilon /2^{i}}$

且在${\displaystyle K_{i}}$上有

${\displaystyle \left|f(x)-g_{i}(x)\right|<1/i}$

構造方法如下：

將${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$分成兩兩不交的博雷爾集${\displaystyle (Y_{ij})_{j=1}^{\infty }}$，使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測，所以每個集的原像${\displaystyle f^{-1}(Y_{ij})}$是可測集。令${\displaystyle X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})}$，則${\displaystyle X_{ij}}$將X分成兩兩不交的可測集。

由於${\displaystyle \mu }$是博雷爾正則測度，且${\displaystyle \mu (X)<\infty }$，於是${\displaystyle \mu }$限制到X上是拉東測度。由拉東測度的內正則性，在${\displaystyle X_{ij}}$中存在緊緻子集${\displaystyle K_{ij}}$，使得

${\displaystyle \mu (X_{ij}\setminus K_{ij})<\epsilon /2^{i+j}}$

所以全部子集${\displaystyle X_{ij}\setminus K_{ij}}$的不交並集的測度

${\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})<\epsilon /2^{i}}$

因為${\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})=\lim _{n\to \infty }\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{n}K_{ij})}$，可以取足夠大的N使得

${\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{N}K_{ij})<\epsilon /2^{i}}$

令${\displaystyle K_{i}=\bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}}$。有限個緊緻集的並集是緊緻集，所以${\displaystyle K_{i}}$緊緻。因此${\displaystyle K_{i}}$滿足要求。

對j=1,..., N，在${\displaystyle Y_{ij}}$中任取一點${\displaystyle y_{ij}}$，並在${\displaystyle K_{ij}}$上定義${\displaystyle g_{i}(x)=y_{ij}}$。

因為在${\displaystyle K_{ij}}$上，f的值包含在${\displaystyle Y_{ij}}$中，故此f和${\displaystyle g_{i}}$相差小於1/i。而${\displaystyle K_{ij}}$是兩兩不交的緊緻集，故兩兩間的距離都是正數，所以${\displaystyle g_{i}}$在${\displaystyle K_{i}}$上是連續函數。因此${\displaystyle g_{i}}$滿足要求。

取${\displaystyle K=\bigcap _{i=1}^{\infty }K_{i}}$，K是緊緻集，並有

${\displaystyle \mu (X\setminus K)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon }$

函數列${\displaystyle g_{i}}$在K上一致收斂到f。一致收斂保持函數的連續性，所以f在K上連續。