幂集公理

在数学中，幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。

在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中，这个公理读做：

${\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall y:y\in x\implies y\in A)}$

或简写为：

${\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff x\subseteq A}$

换句话说：

给定任何集合A，有着一个集合${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$使得，给定任何集合x，x是${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$的成员，当且仅当x是A的子集。

通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$是A的幂集。所以这个公理的本质是：

所有集合都有一个幂集。

幂集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在所有可替代的集合论的公理化中。