正則變換

第一型生成函數${\displaystyle G_{1}}$只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

${\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$。

代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$。

新廣義坐標${\displaystyle \mathbf {Q} }$和舊廣義坐標${\displaystyle \mathbf {q} }$都是自變量，其對於時間的全導數${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}}$和${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$互相無關，所以，以下${\displaystyle 2N+1}$個方程式都必須成立：

${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}}$，（2）

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$，（3）

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$。（4）

這${\displaystyle 2N+1}$個方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$，步驟如下：

第一組的${\displaystyle N}$個方程式（2），設定了${\displaystyle \mathbf {p} }$的${\displaystyle N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出${\displaystyle \mathbf {Q} }$的${\displaystyle N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$。（5）

第二組的${\displaystyle N}$個方程式（3），設定了${\displaystyle \mathbf {P} }$的${\displaystyle N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$。

代入函數方程式（5），可以算出${\displaystyle \mathbf {P} }$的${\displaystyle N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$。（6）

從${\displaystyle 2N}$個函數方程式（5）、（6），可以逆算出${\displaystyle 2N}$個函數方程式

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$，

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$。

代入新哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {K}}}$的方程式（4），可以得到

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$。

第二型生成函數${\displaystyle G_{2}}$的參數是舊廣義坐標${\displaystyle \mathbf {q} }$、新廣義動量${\displaystyle \mathbf {P} }$ 與時間：

${\displaystyle G=-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)}$；

以下${\displaystyle 2N+1}$方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$：

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$，　

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$。

第三型生成函數${\displaystyle G_{3}}$ 的參數是舊廣義動量${\displaystyle \mathbf {p} }$、新廣義坐標${\displaystyle \mathbf {Q} }$與時間：

${\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$。

以下${\displaystyle 2N+1}$方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$：

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$，

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$。

第四型生成函數${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$的參數是舊廣義動量${\displaystyle \mathbf {p} }$、新廣義動量${\displaystyle \mathbf {P} }$與時間：

${\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$。

以下${\displaystyle 2N+1}$方程式設定了變換${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )}$：

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$，

${\displaystyle \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$，

${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$。

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

${\displaystyle G_{1}=\mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$。

生成函數的導數分別為

${\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} }$，

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} }$。

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)}$。

再擧一個比較複雜的例子。讓

${\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q}$ ;\ t)\cdot \mathbf {P} } ；

這裏，${\displaystyle \mathbf {g} }$是一組${\displaystyle N}$個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q}$ ;\ t)} 。

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個${\displaystyle 2N\times 1}$的豎矩陣${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ :

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]}$。

變數向量${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$將${\displaystyle \mathbf {q} }$與${\displaystyle \mathbf {p} }$包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$；

這裏，${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$是辛連結矩陣、${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$改變成新正則坐標${\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}}$；哈密頓量也從舊的哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {H}}}$改變成新的哈密頓量${\displaystyle {\mathcal {K}}}$，${\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}}$；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}}$；

這裏，${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {dG}{dt}}+\mathbf {P} {\dot {\mathbf {Q} }}-\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}}$。

用第一型生成函數${\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)}$，則${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$。

取${\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}={\boldsymbol {\Xi }}({\boldsymbol {\xi }},\ t)}$關於時間${\displaystyle t}$的導數，

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}=\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}}$；

這裏，${\displaystyle \mathbf {M} }$是亞可比矩陣，${\displaystyle M_{ij}={\frac {\partial \Xi _{i}}{\partial \xi _{j}}}}$。

代入哈密頓方程式，

${\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}+{\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}\ \partial t}}}$ ;

假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案[1]，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為

${\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}}$。

而${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {\xi }})}$，所以，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=-(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}{\dot {\boldsymbol {\xi }}}}$。

代回前一個方程式，取${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}}$的係數，則可以得到

${\displaystyle \mathbf {M} =-{\boldsymbol {\Omega }}(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}}$。

經過一番運算，

${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}=-{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}{\boldsymbol {\Omega }}}$；

${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}}$；

可以求出辛條件：

${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}$。

在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。

在相空间裏，兩個函數${\displaystyle f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}$關於正則坐標${\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} }$的帕松括號定義為

${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}$。

用辛標記，

${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$。

立刻，可以得到下述關係：

${\displaystyle {\big [}q_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\big [}p_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=0}$，

${\displaystyle {\big [}q_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=-{\big [}p_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\delta _{ij}}$。

定義基本帕松括號${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}}$為一個方矩陣，其中，元素${\displaystyle ij}$的值是${\displaystyle {\big [}\xi _{i},\ \xi _{j}{\big ]}}$。那麼，

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}$。

思考一個變換${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}}$。新坐標的基本帕松括號為

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$。

這兩個正則坐標的亞可比矩陣${\displaystyle M}$是

${\displaystyle M={\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}}$。

代入前一個方程式，則

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} }$。

假若這變換是正則變換，辛條件${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}$必須成立，

${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}$。

相反地，假若${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}}$，則辛條件成立，這變換是正則變換。

所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為${\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}}$，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

思考兩個函数${\displaystyle f,\ g}$對於正則坐標${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$的泊松括號

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}M^{T}{\boldsymbol {\Omega }}M{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\ \ _{\circ }\\\end{aligned}}}$

假若這變換是正則變換，辛條件${\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}}$必須成立，

${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\Xi }}}$。

所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為${\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}}$，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。