深度 (模論)

設 ${\displaystyle R}$ 為交換環，${\displaystyle M}$ 為 ${\displaystyle R}$-模。若元素 ${\displaystyle x\in R}$ 滿足 ${\displaystyle \forall m\in M,\;xm=0\Rightarrow m=0}$（即：${\displaystyle x}$ 非 ${\displaystyle M}$ 的零因子），則稱之為 ${\displaystyle M}$-正則元。

一組 M-正則序列是一個 ${\displaystyle R}$ 中的有限序列 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{d})}$，使得對每個 ${\displaystyle 1\leq i\leq d}$ 有

${\displaystyle x_{i}}$ 為 ${\displaystyle M/(x_{0},\ldots ,x_{i-1})}$-正則元（置 ${\displaystyle x_{0}:=0}$）

定理（Rees）：若 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ 是局部諾特環，元素皆屬於 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 的正則序列之置換仍是正則序列，而且這類序列中的極大者都具相同長度。

假設同上，並固定一個理想 ${\displaystyle I\subset R}$。定義${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$ 的I-深度為元素皆屬於 ${\displaystyle I}$ 的 ${\displaystyle M}$-正則序列的最大長度，記作 ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}$（在法文文獻中常記作 ${\displaystyle \mathrm {prof} _{I}(M)}$）。環 ${\displaystyle R}$ 的 ${\displaystyle I}$-深度定義為 ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(R)}$。

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}$ 亦可用Ext函子刻劃為使得 ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0}$ 的最小非負整數 ${\displaystyle n}$。

下列等式將深度問題化約到局部環的情形：

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\sup _{{\mathfrak {p}}\supset I}(M_{\mathfrak {p}})}$

以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設 ${\displaystyle A}$ 為局部諾特環，${\displaystyle M}$ 為有限生成 ${\displaystyle A}$-模，而且其射影維度有限，則

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$

• V.I. Danilov, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1