瑞利商

对于任意向量${\displaystyle x}$，其瑞利商满足${\displaystyle R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]}$，其中${\displaystyle \lambda _{\min },\lambda _{\max }}$分别代表矩阵${\displaystyle M}$的最小特征值和最大特征值。观察定义可知，矩阵${\displaystyle M}$的瑞利商等价于其特征值的加权和：

$${\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}}$$

其中${\displaystyle (\lambda _{i},v_{i})}$是第${\displaystyle i}$个归一化后的特征值-特征向量对，${\displaystyle y_{i}=v_{i}^{*}x}$是${\displaystyle x}$在特征基中的第${\displaystyle i}$个坐标。可以验证，当${\displaystyle x}$为矩阵${\displaystyle M}$最小（最大）特征值对应的特征向量${\displaystyle v_{\min }}$（${\displaystyle v_{\max }}$）时，${\displaystyle R(M,x)}$取值达到其下（上）界。