线性映射

域本身就是定義在自己之上（也就是以自己為标量母集合）的向量空間，所以如 ${\displaystyle f:V\rightarrow K}$ 的線性映射被特稱為線性泛函。線性泛函分析就是不預先假設基底存在性的高等線性代数（也就是直觀來說，無窮維或是不可數維度的向量空間）。線性泛函分析是泛函分析最成熟的分支，但泛函分析最早研究的是有關向量空間${\displaystyle V}$上的实值函数（它们一般是非線性映射）的變分问题。

• 本条目所定义的“線性”与“函数图像是条直线”間有根本的区别（可见下文的举例说明），请勿混淆。

• 線性映射可以复合，但一般不能随便交換复合的先后顺序；如“给函数乘上${\displaystyle x^{2}}$”和“对函数进行微分”都是線性算子（可见下文的举例说明），但对一个函数“先乘上${\displaystyle x^{2}}$再进行微分”和“先进行微分再乘上${\displaystyle x^{2}}$”所得到的结果一般是不一样的。[2]

• 由“可加性”不可能推导出“齐次性”，由“齐次性”也不可能推导出“可加性”，所以这2条件对于“線性”的定义缺一不可。[3]

假設 ${\displaystyle T:V\to W}$ 是個線性映射，且

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}=\left\{\alpha _{1},\alpha _{2},\,\ldots ,\alpha _{n}\right\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}=\left\{\beta _{1},\beta _{2},\,\ldots ,\beta _{m}\right\}}$

分別是 ${\displaystyle V}$ 和 ${\displaystyle W}$ 的基底。

根據基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 的基本定義，對於每個基向量 ${\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}$ ，存在唯一一組标量 ${\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}$ 使得

${\displaystyle T(\alpha _{i})=\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}=t_{1i}\cdot \beta _{1}+t_{2i}\cdot \beta _{2}+\cdots +t_{mi}\cdot \beta _{m}}$

直觀上，标量 ${\displaystyle t_{1i},\,t_{2i},\,\ldots ,\,t_{mi}\in K}$ 就是對基向量 ${\displaystyle \alpha _{i}\in {\mathfrak {B}}_{V}}$ 的作用結果 ${\displaystyle T(\alpha _{i})\in W}$ ，在基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 下的諸分量。

現在任取一個 ${\displaystyle V}$ 裡的向量 ${\displaystyle v\in V}$ ，因為基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}$ 的基本定義，存在唯一一組标量 ${\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\in K}$ 使得

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \alpha _{i}}$

這樣根據求和符号的性質，可以得到

${\displaystyle T(v)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}t_{ji}\cdot \beta _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(t_{ji}v_{i})\cdot \beta _{j}=\sum _{j=1}^{m}\left(\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}\right)\cdot \beta _{j}}$

然後考慮到 ${\displaystyle T(v)\in W}$ ，所以根據基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 的基本定義，存在唯一一組标量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{m}\in K}$ 使得

${\displaystyle T(v)=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}\cdot \beta _{j}}$

因為這樣的标量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{M}\in K}$ 是唯一存在的，所以對 ${\displaystyle j=1,\,2,\,\ldots ,\,m}$ 有

${\displaystyle \lambda _{j}=\sum _{i=1}^{n}t_{ji}v_{i}}$

考慮到矩陣乘法的定義，上式可以改寫為

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\vdots \\\lambda _{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{11}&t_{12}&\dots &t_{1n}\\t_{21}&t_{22}&\dots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{m1}&t_{m2}&\dots &t_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$

也就是說，只要知道 ${\displaystyle T(\alpha _{i})}$ 在 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 下的諸分量 ${\displaystyle t_{ji}}$ ，任意向量 ${\displaystyle v\in V}$ 的作用結果 ${\displaystyle T(v)}$ ，都可以表示為矩陣 ${\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}$ 與行向量 ${\displaystyle \mathbf {v} ={[v_{i}]}_{n\times 1}}$ 的乘積。更直觀的來說，矩陣 ${\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}$ 就是把 ${\displaystyle T(\alpha _{i})}$ 的諸分量沿行（column）擺放所構成的。

由上面的推導可以知道，不同的基底 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}}$ 和 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}}$ 下，矩陣 ${\displaystyle \mathbf {T} ={[t_{ji}]}_{m\times n}}$ 也不同，為了強調這點，也會將矩陣 ${\displaystyle \mathbf {T} }$ 記為

${\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{W}}^{{\mathfrak {B}}_{V}}}$

來強調這種關聯性。

若 ${\displaystyle T:V\to V}$ ，在同個向量空間 ${\displaystyle V}$ 通常沒有取不同基底的必要，那上面的推導可以在 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}={\mathfrak {B}}_{W}}$ 的前提下進行。這時上式可以進一步簡寫為

${\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{V}}}$

若有由 ${\displaystyle m\times n}$ 個标量構成的矩陣 ${\displaystyle \mathbf {A} ={[a_{ij}]}_{m\times n}\in K^{m\times n}}$ ，如果取 ${\displaystyle f:K^{n\times 1}\to K^{m\times 1}}$ 為

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} }$

其中

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\in K^{n\times 1}}$

因為矩陣乘法只有唯一的結果，上面的定義的確符合函数定義的基本要求。然後考慮 ${\displaystyle K^{n\times 1}}$ 和 ${\displaystyle K^{m\times 1}}$ 都可以視為定義在同個标量域 ${\displaystyle K}$ 上的向量空间，而且矩陣乘法是線性的，所以上述定義的函數 ${\displaystyle f}$ 的確符合线性映射的基本定義。

1. 把線性映射写成具体而简明的2维数阵形式后，就成了一种矩阵。进而由線性映射的加法规則和复合规則来分别定义矩阵的加法规則和乘法规則是很自然的想法。[12]当空間的基变化（坐标系變換）时，線性映射的矩阵也会有规律地变化。在特定的基上研究線性映射，就转化为对矩阵的研究。利用矩阵的乘法，可以把一些線性系统的方程表达得更紧凑（比如把線性方程组用矩阵表达和研究），也使几何意义更明显。矩阵可以分块计算，可以通过适当的變換以“解耦”（把复杂的變換分解为一些简单變換的组合）。要求出一个線性變換的秩，先写出其矩阵形式几乎是不可避免的一个步骤。
2. 遇到${\displaystyle y=x+3}$这样的加上了1个常量的非線性映射可以通过增加1个维度的方法，把變換映射写成2×2维的方形矩阵形式，从而在形式上把这一类特殊的非線性映射转化为線性映射。这个办法也适用于处理在高维線性變換上多加了一个常向量的情形。这在计算机图形学和刚体理论（及其相關机械制造和机器人学）中都有大量应用。
3. 对角化的矩阵具有诸多优点。線性映射在写成矩阵后可以进行对角化（不能对角化的矩阵可以化简成接近对角矩阵的准对角矩阵），从而可以获得对角化矩阵拥有的独特优势（极大地简化乘法运算，易于分块，容易看出与基的选取无關的不变量）。比如，对于作用于同一个空間的可对角化的方形矩阵${\displaystyle A}$，要求出${\displaystyle A}$自乘${\displaystyle n}$次后的结果${\displaystyle A^{n}}$，一个一个慢慢地乘是很麻烦的事情。而知道对角化技巧的人会发现，在将这矩阵对角化后，其乘法运算会变得格外简单。实际应用中有很多有意思的问题或解题方法都会涉及到矩阵自乘n次的计算，如1阶非齐次線性递推数列通项公式的線性代数求解法和马尔可夫链的极限状态（极限分布）的求解。線性代数及矩阵论的一个主要问题就是寻找可使矩阵对角化的条件或者可使矩阵化简到含很多个0的条件[13]，以便简化计算（这是主要原因之一）。

自同态是一个数学对象到它本身的保持結構的映射（同态），例如群${\displaystyle G}$的自同态則是群同态${\displaystyle f:G\to G}$。對於向量空間${\displaystyle V}$，其自同态是線性算子${\displaystyle f:V\rightarrow V}$；所有这种自同态的集合${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$与如上定义的加法、复合和标量乘法一起形成一个结合代数，带有在域${\displaystyle K}$上的单位元(特别是一个环)。这个代数的乘法单位元是恒等映射${\displaystyle \mathrm {id} :V\rightarrow V}$。

若${\displaystyle V}$的自同态也剛好是同构則稱之為自同构。两个自同构的复合再次是自同构，所以${\displaystyle V}$的所有的自同构的集合形成一个群，${\displaystyle V}$的自同构群可表为${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}$或${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$。因为自同构正好是那些在复合運算下擁有逆元的自同态，所以${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}$也就是在环${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$中的可逆元群。

如果${\displaystyle V}$之维度${\displaystyle n}$有限${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$同构於带有在${\displaystyle K}$中元素的所有${\displaystyle n\times n}$矩阵構成的结合代数，且${\displaystyle V}$的自同态群同构于带有在${\displaystyle K}$中元素的所有${\displaystyle n\times n}$可逆矩阵構成的一般線性群${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$。

• Michael Artin. [代数] 2. Pearson. 2010. ISBN 978-0132413770.
• Sheldon Axler. [线性代数应该这样学]. 图灵数学•统计学丛书. 杜现昆 (汉译者); 马晶 (汉译者). 人民邮电出版社. 2009. ISBN 9787115206145 （中文（中国大陆））.
• Peter D. Lax. [泛函分析]. 图灵数学·统计学丛书. 侯成军 (翻译); 王利广 (翻译). 人民邮电出版社. 2010. ISBN 978-7-115-23174-1.
• Richard Feynman. [费曼物理学讲义] 1. Addison-Wesley. 1999. ISBN 978-0201021165.

• Halmos, Paul R., Finite-Dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, (1993). ISBN 0-387-90093-4.