自由積

若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘積：

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}$

其中s_i是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化：

• 除去其中的（G或H的）單位元，
• 將其中的g₁g₂一對元素以其在G中的積代替，將其中的h₁h₂一對元素以其在H中的積代替。

每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

自由積G ∗ H的元素是以G和H形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。

例如若G是無窮循環群<x>，H是無窮循環群<y>，則G ∗ H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G ∗ H同構於以x和y生成的自由群。

設${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$是群的一個族。用${\displaystyle G_{i}}$形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。仿上可定義出${\displaystyle G_{i}}$的自由積${\displaystyle *_{i\in I}G_{i}}$。

設

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

是G的一個展示（S_G是生成元的集合，R_G是關係元的集合），又設

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

是H的一個展示。那麼

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。（兩者都是不交併。）

• 將${\displaystyle G_{i_{0}}}$自然地映射到${\displaystyle *_{i\in I}G_{i}}$的群同態是內射，故此這個群同態將${\displaystyle G_{i_{0}}}$嵌入到${\displaystyle *_{i\in I}G_{i}}$中為子群。

自由積亦可由以下泛性質定義：設G是群，${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$是由群組成的一個族，有一族群同態${\displaystyle (\phi _{i}\colon G_{i}\to G)_{i\in I}}$。那麼存在唯一的群同態${\displaystyle \phi \colon *_{i\in I}G_{i}\to G}$，使得對所有${\displaystyle i_{0}\in I}$都有

${\displaystyle \phi _{i_{0}}=\phi \circ \iota _{i_{0}}}$

其中${\displaystyle \iota _{i_{0}}\colon G_{i_{0}}\to *_{i\in I}G_{i}}$是把${\displaystyle G_{i_{0}}}$嵌入到${\displaystyle *_{i\in I}G_{i}}$中的群同態。

共合積（英語：或，法語：）是自由積的推廣。設G和H是群，又設F是另一個群，並有群同態

${\displaystyle \phi \colon F\to G}$ 及 ${\displaystyle \psi \colon F\to H}$

對F中所有元素f，在自由積G ∗ H中加入關係

${\displaystyle \phi (f)\psi ^{-1}(f)=e}$

便得出其共合積。換言之，在G ∗ H中取最小的正規子群N，使得上式左方的元素都包含在內，則商群

${\displaystyle (G*H)/N}$

就是共合積${\displaystyle G*_{F}H}$。

共合積可視為在群範疇中圖表${\displaystyle G\leftarrow F\rightarrow H}$的推出。

塞弗特－范坎彭定理指，兩個路徑連通的拓撲空間沿著一個路徑連通子空間接合的併，其基本群是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。

共合積及與之相近的HNN擴張，是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。

• . PlanetMath.
• . PlanetMath.
• Pierre de la Harpe. . Chicago and London: The University of Chicago Press. 2000. ISBN 0-226-31721-8.