迹不等式

定义在区间 I ⊂ℝ上的函数 f: I → ℝ 是算子单调的 ，如果对于∀n，∀ A,B ∈ H_n 且特征值在 I中，有，

${\displaystyle A\geq B\Rightarrow f(A)\geq f(B),}$

这里 A ≥ B 表示 A − B ≥ 0 ，即A − B是半正定的。 注意， f(A)=A² 不是 算子单调的!

函数 ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$ 是 算子凸的 如果对任意 ${\displaystyle n}$ 和任意 A,B ∈ H_n 与特征值在 I的一对矩阵，在 ${\displaystyle 0<\lambda <1}$时有

${\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}$

由于 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 有的特征值在 I中，注意矩阵 ${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B}$ 特征值也在 ${\displaystyle I}$中。

函数 ${\displaystyle f}$ 是 算子凹的 如果 ${\displaystyle -f}$ 是算子凸的，即上面关于 ${\displaystyle f}$ 不等式的符号反过来也成立。

定义在区间 ${\displaystyle I,J\subset \mathbb {R} }$ 上的函数${\displaystyle g:I\times J\rightarrow \mathbb {R} }$是 联合凸的 ，如果对任意 ${\displaystyle n}$ 和任意${\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ 且特征值在 ${\displaystyle I}$ 中，和任意 ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$ 且特征值在 ${\displaystyle J}$中，在 ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$ 时有

${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\leq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$

一个功能 是 如果 是联合凸，即不平等以上为 g 是相反的。

函数 g 是 算子联合凹的 如果 −g 是联合凸的，即上面关于 g 不等式符号反过来成立。

给定函数 f:ℝ→ℝ，相应地可在 H_n 上定义 迹函数

${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}$

其中 A 有特征值 λ ，Tr表示算子的 迹 。