SL₂(ℝ)

在数学中，特殊线性群 SL₂(ℝ) 是行列式为 1 的 2×2 实矩阵组成的群：

{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}:a,b,c,d\in \mathbb {R} \right.\,

，且

ad-bc=1{\Bigg \}}\,

．

它是一个三维李群，在几何、拓扑、表示论及物理中有重要应用．

与 SL₂(ℝ) 密切相关的是射影线性群 PSL₂(ℝ)。这是将 SL₂(ℝ) 中每个元素与它的负元素等同得到的商：

{\mbox{PSL}}_{2}(\mathbb {R} )={\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )/\{-1,+1\}.\,

一些作者将这个群记做 SL(2,ℝ)．这是一个单李群，包含模群 PSL₂(ℤ)．

描述

SL₂(ℝ) 是 ℝ² 上所有保持定向面积的线性变换群。它同构于辛群 Sp₂(ℝ) 以及广义特殊酉群 SU(1,1)。它也同构于单位长共四元数群。

商 PSL₂(ℝ) 有多个有趣的描述：

它是实射影直线 $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ 上保持定向的射影变换群。
它是单位圆盘的共形自同构群。
它是双曲平面保持定向的等距群。
它是三维闵可夫斯基空间的限制洛伦兹群。等价地，它同构于不定正交群 SO⁺(1,2)。从而 SL₂(ℝ) 同构于旋量群 Spin(2,1)⁺。

线性分式变换

PSL₂(ℝ) 的元素做为线性分式变换作用在实射影直线 $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ 上：

x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}.

这类似于 PSL₂(ℂ) 通过莫比乌斯变换在黎曼球面上的作用。这是 PSL₂(ℝ) 在双曲平面上的作用限制到无穷远边界。

莫比乌斯变换

PSL₂(ℝ) 中的元素通过莫比乌斯变换作用在复平面上：

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;(\,

这里

a,b,c,d\in \mathbb {R} {\mbox{)}}.\,

这正好是保持上半平面的莫比乌斯变换集合。从而 PSL₂(ℝ) 是上半平面的共形自同构群。由黎曼映射定理，它也是单位圆盘的共形自同构群。

这些莫比乌斯变换是双曲空间上半平面模型的等距，而圆盘相应的莫比乌斯变换是庞加莱圆盘模型的双曲等距。

伴随表示

群 SL₂(ℝ) 通过共轭作用在它的李代数 SL₂(ℝ) 上，导致 PSL₂(ℝ) 的一个忠实 3 维线性表示。这也可以描述为 PSL₂(ℝ) 作用在 ℝ² 上的二次型上。结果是如下表示

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ac&c^{2}\\ab&ad+bc&cd\\b^{2}&2bd&d^{2}\end{bmatrix}}.

sl₂(ℝ) 上的基灵型有符号 (2,1)，诱导了 PSL₂(ℝ) 与洛伦兹群 SO⁺(2,1) 之间一个同构。PSL₂(ℝ) 在闵可夫斯基空间上的作用限制成 PSL₂(ℝ) 在双曲空间的双曲面模型上的等距。

元素的分类

SL₂(ℝ) 中一个元素 A 的本征值满足特征多项式

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0,\,

从而

\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.\,

这导致了如下元素分类：

如果 | tr(A) | < 2，则 A 称为椭圆型。

如果 | tr(A) | = 2，则 A 称为抛物型。

如果 | tr(A) | > 2，则 A 称为双曲型。

椭圆型元素

椭圆型元素的本征值都是复数，是单位圆周上的共轭值。这样的元素的作用是欧几里得空间中的旋转，相应的 PSL₂(ℝ) 元素之作用是双曲平面与闵可夫斯基空间的旋转。

模群的椭圆型元素的本征值一定为 {ω, 1/ω} 形式，其中 ω 是一个本原3次、4次、或6次单位根。他们是模群中所有有限阶元素，他们作用在环面上是周期性微分同胚。

抛物型元素

抛物型元素只有一个本征值，1 或者 -1。这样的元素作用在欧几里得平面上是错切映射，相应 PSL₂(ℝ) 中元素作用在双曲平面上是极限旋转（），在闵可夫斯基空间上的作用是零旋转。

模群的抛物型元素作用在环面上是德恩扭转（Dehn twist）。

双曲型元素

双曲型元素的本征值都是实数，互为倒数。这样一个元素作用在欧几里得空间上是挤压映射（squeeze mapping），相应的 PSL₂(ℝ) 元素作用在双曲平面是平移，在闵可夫斯基空间上的作用是洛伦兹递升。

模群的双曲型元素作用在环面上是阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）。

拓扑和万有覆盖

做为一个拓扑空间，PSL₂(R) 可以描述为双曲平面的单位切丛，这是一个圆丛，有由双曲平面上辛结构诱导的自然切触结构。SL₂(R) 是 PSL₂(R) 的二重覆盖，可以认为是双曲平面上的旋量丛。

SL₂(R) 的基本群是无限循环群 ℤ。其万有覆盖群记做 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ ，是一个有限维李群但不是矩阵群。即 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 没有忠实有限维表示。

做为一个拓扑空间， ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 是双曲平面上一个线丛。若赋予一个左不变度量，3-流形 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 成为瑟斯顿八几何之一。例如， ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 是任何双曲曲面的单位切丛的万有覆盖。任何以 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 为模型的流形是可定向的，也是一个二维双曲轨形上的圆丛（一个塞弗特纤维空间（Seifert fiber space））。

代数结构

SL₂(ℝ) 的中心是两个元素的群 {-1,1}，商 PSL₂(ℝ) 是单群。

PSL₂(ℝ) 的离散子群称为富克斯群（Fuchsian group）。他们是欧几里得壁纸群（wallpaper group）和饰带群（Frieze group）的双曲类比。最有名的是模群 PSL₂(ℤ)，它作用在双曲平面由理想三角形形成的嵌图上。

圆群SO(2)是 SL₂(ℝ) 的一个极大紧子群，圆 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL₂(ℝ) 的一个极大紧子群。

PSL₂(ℝ) 的舒尔乘子（Schur multiplier）是 ℤ，万有中心扩张与万有覆盖群相同。

表示理论

SL₂(ℝ) 是一个实非紧单李群，也是复李群 SL₂(ℂ) 的分裂实形式。SL₂(ℝ) 的李代数记做 sl₂(ℝ)，是所有迹为零的 2×2 实矩阵。它是 VIII 型比安基代数。

SL₂(ℝ) 的有限维表示理论等价于SU(2)的表示理论，这是 SL₂(ℂ) 的紧实形式。特别地 SL₂(ℝ) 没有非平凡有限维酉表示。

SL₂(ℝ) 的无限维表示理论相当有意思。这个群有多类酉表示，这被盖尔范德、奈马克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 详细地解决了。

另见

线性群
特殊线性群
射影线性群（）
双曲等距（）
模群（modular group）
莫比乌斯变换
射影变换
富克斯群（Fuchsian group）
李群列表（Table of Lie groups）

参考文献

V. Bargmann, Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group，The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640
Gelfand, I.; Neumark, M. Unitary representations of the Lorentz group. Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
Harish-Chandra, Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
Serge Lang, SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-96198-4
William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5

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