乒乓引理

設w是用H₁和H₂的元素寫出的非空簡約字。若${\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}}$，其中${\displaystyle a_{i}\in H_{1}\setminus \{1\}}$，${\displaystyle b_{i}\in H_{2}\setminus \{1\}}$，則

${\displaystyle {\begin{aligned}w(X_{2})&=a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_{k}(X_{2})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_{1})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}(X_{2})\\&\subset \cdots \subset X_{1}\end{aligned}}}$

故${\displaystyle w\neq 1}$。同上得${\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}\cdots b_{k}\neq 1}$。

若H₁和H₂的階不都等於2，不失一般性，假設${\displaystyle \left|H_{1}\right|>2}$。若${\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}}$，取${\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{1}^{-1}\}}$，則${\displaystyle 1\neq aa_{1}\in H_{1}}$，故由上可知

${\displaystyle awa^{-1}=aa_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}a^{-1}\neq 1}$，

得${\displaystyle w\neq 1}$。若${\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}}$，取${\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{k}\}}$，則${\displaystyle 1\neq a_{k}a^{-1}\in H_{1}}$，同上可得${\displaystyle awa^{-1}\neq 1}$，故${\displaystyle w\neq 1}$。因此得出${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$。

若${\displaystyle \left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2}$，令${\displaystyle H_{1}=\{1,a\}}$，${\displaystyle H_{2}=\{1,b\}}$。從上可知若有以a, b寫出的非空簡約字w等於1，則w只可能是${\displaystyle ab\cdots ab}$或${\displaystyle ba\cdots ba}$，故對某些數n > 0有${\displaystyle (ab)^{n}=1}$。取其最小者的值為n，則H為二面體群${\displaystyle D_{2n}}$。若無如此簡約字w，則${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$。

乒乓引理可以推廣至數個子群的情形：

設G為群，作用在集合X上。又設H₁, H₂, ... , H_k是G的非平凡子群，且當中至少一個的階不小於3。若X有兩兩不交的非空子集X₁, X₂, ... , X_k，使得當${\displaystyle i\neq j}$時，對所有${\displaystyle 1\neq a\in H_{i}}$，都有${\displaystyle a(X_{j})\subset X_{i}}$。則H₁, H₂, ... , H_k所生成的群是其自由積，即

${\displaystyle \langle H_{1},\cdots ,H_{k}\rangle =H_{1}*H_{2}*\cdots *H_{k}}$。

這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。

矩陣${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$和${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}$在特殊線性群${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$中生成的子群是秩2的自由群。

群${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$以線性變換作用在平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上。 設這兩個矩陣各自生成子群

${\displaystyle H_{1}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}$

${\displaystyle H_{2}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}}$

又設平面的兩個不交子集為

${\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}$

${\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}}$

H₁, H₂都同構於無限循環群。因為H₁, H₂, X₁, X₂適合乒乓引理的條件，由乒乓引理得出H₁, H₂生成的群為其自由積，而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群。