雙複數

雙複數是擁有以下形式的超複數：

t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in R

的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
上超實數

其他

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

而 $ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.$

線性表示法

在雙複數 $t=w+xi+yj+zk,\$ 中，請注意由於ij=k，所以 $t=(w+xi)+(y+zi)j\$ 。這映射

t\mapsto {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}},\quad p=w+xi,\quad q=y+zi

。

是一個以2x2的複數矩陣組成的雙複數的線性表示方式。

例如，ik = i(ij) = (ii)j = −j的線性表示法是

{\begin{pmatrix}i&0\\0&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.

請注意這代數矩陣與其他代數矩陣的分別是：這代數矩陣是一個可交換的代數矩陣。